Прикладная геометрия

В этом разделе будут рассмотрены решения основных геометрических задач встречающихся при программировании роботов.

Переход от одной системы координат к другой

Одна из наиболее распространенных геометрических задач, которые предстоит решать робототехнику - переход между системами координат. Чаще всего это нужно будет делать на плоскости, особенно при решении задач глобальной навигации. Типичная задача в робототехнике будет выглядеть так:

Робот находится в координатах (XR,YR) в глобальной системе координат (на карте) и повернут на угол AR по часовой стрелке от направления оси O-X, робот обнаружил препятствие относительно себя в координатах (X1,Y1) локальной системы координат робота. Требуется определить глобальные координаты (X0,Y0) препятствия. Либо наоборот - зная глобальные координаты препятствия требуется вычислить его локальные координаты.

Тройка чисел (XR,YR,AR) - координаты базиса локальной системы координат в глобальной системе координат.

Формула перехода из локальных координат в глобальные:

X0=XR+X1*cos(AR)-Y1*sin(AR) Y0=YR+Y1*cos(AR)+X1*sin(AR)

Формула обратного перехода из глобальных координат в локальные:

X1=(X0-XR)*cos(AR)+(Y0-YR)*sin(AR) Y1=(Y0-YR)*cos(AR)-(X0-XR)*sin(AR)

Проверим: (переведем координаты туда и обратно)

X1=(X0-XR)*cos(AR)+(Y0-YR)*sin(AR)=

=(XR+X1*cos(AR)-Y1*sin(AR)-XR)*cos(AR)+(YR+Y1*cos(AR)+X1*sin(AR)-YR)*sin(AR)=

=(X1*cos(AR)-Y1*sin(AR))*cos(AR)+(Y1*cos(AR)+X1*sin(AR))*sin(AR)=

=X1*cos(AR)*cos(AR)-Y1*sin(AR)*cos(AR)+Y1*cos(AR)*sin(AR)+X1*sin(AR)*sin(AR)=

=X1*cos(AR)*cos(AR)+X1*sin(AR)*sin(AR)=X1*(cos(AR)*cos(AR)+sin(AR)*sin(AR))=X1*(1)=X1,

и вторую координату:

Y1=(Y0-YR)*cos(AR)-(X0-XR)*sin(AR)=

=(YR+Y1*cos(AR)+X1*sin(AR)-YR)*cos(AR)-(XR+X1*cos(AR)-Y1*sin(AR)-XR)*sin(AR)=

=(Y1*cos(AR)+X1*sin(AR))*cos(AR)-(X1*cos(AR)-Y1*sin(AR))*sin(AR)=

=Y1*cos(AR)*cos(AR)+X1*sin(AR)*cos(AR)-X1*cos(AR)*sin(AR)+Y1*sin(AR)*sin(AR)=

=Y1*cos(AR)*cos(AR)+Y1*sin(AR)*sin(AR)=Y1*(cos(AR)*cos(AR)+sin(AR)*sin(AR))=Y1*(1)=Y1.