Определение координат робота по расстояниям до маяков, измеренным с одинаковым отклонением
Постановка задачи
Имеем в плоскости 3 маяка с известными координатами <math>(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)</math> и замеренные расстояния до них <math>(z1,z2,z3)</math> известные с точностью до неизвестного одинакового отклонения <math>(z)</math>. Требуется определить наиболее вероятные координаты робота <math>(x,y)</math> и соответственно одинаковое отклонение <math>(z)</math>, зависящее от смещения часов робота относительно часов маяков.
Источник задачи - система локализации на базе (ультра)звуковых маяков, которые могут быть рассинхронизированы по часам с автономным роботом.
Решение численным методом Ньютона
Решенее предложил mandigit
Запишем уравнение для расстояния <math>~ri</math> от i-го маяка до робота:
<math>zi=\sqrt{(xi-x)^2+(yi-y)^2}+z</math>
Продифференцировав это равенство получим:
<math>dzi = \frac{(xi-x)dx+(yi-y)dy}{\sqrt{(xi-x)^2+(yi-y)^2}}+dz = \frac{(xi-x)dx+(yi-y)dy}{(zi-z)}+dz</math>, умножив на <math>~(zi-z)</math>, получим:
<math>~(zi-z)dzi = (xi-x)dx + (yi-y)dy + (zi-z)dz</math>
При известных <math>~dzi</math> три таких равенства представляют собой систему линейных уравнений относительно неизвестных <math>~dx,dy,dz</math>.
Примем <math>d0=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}</math>, далее имея все эти выкладки запускаем следующий итерационный алгоритм.
- Инициализация <math>x(0)=\frac{x1+x2+x3}{3}</math>, <math>y(0)=\frac{y1+y2+y3}{3}</math>, <math>~z(0)=0</math>;
- Шаг алгоритма №n (n>=1):
- Вычисляем <math>~zi'</math> исходя из координат <math>~x(n-1), y(n-1), z(n-1)</math>;
- Находим их отклонение <math>~dzi=zi'-zi</math> от реально измеренных <math>~zi</math>;
- Решаем систему линейных уравнений и находим <math>~dx,dy,dz</math>, добавляем их к <math>~x(n-1),y(n-1),z(n-1)</math> и получаем <math>~x(n),y(n),z(n)</math>;
- Если <math>~d0</math> меньше некоторого <math>~epsilon</math>, тогда останавливаемся и считаем найденные <math>~x(n),y(n),z(n)</math> достаточно хорошим решением, которое невозможно уже значительно улучшить без серьезных времязатрат.
ВНИМАНИЕ! В решении есть проблема - непонятно почему для сходимости dz надо не добавлять, а отнимать от z(n-1).
ВНИМАНИЕ! Область сходимости данного метода до конца не исследована. Внутри треугольника маяков и в некоторой его окресности на практике метод сходится за 5-6 итераций с точность порядка 3-4% от диаметра треугольника маяков.
Решение аналитическим методом
Решение предложил boez.
Пусть r1, r2, r3 - расстояния до маяков, реальные.
Известные величины: r1', r2', r3' - расстояния с неким смещением, одинаковым.
расстояния:
- r1 = r1'+d
- r2 = r2'+d
- r3 = r3'+d
Координаты маяков: (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
Искомые величины: x,y,d - координаты и приведенное к расстоянию смещение во времени.
Уравнения окружностей (расстояния до маяков):
- r1^2 = (x1-x)^2 + (y1-y)^2 (1)
- r2^2 = (x2-x)^2 + (y2-y)^2 (2)
- r3^2 = (x3-x)^2 + (y3-y)^2 (3)
Вычтем из первого уравнения второге и третье
- (r1'-r2')(r1'+r2'+2*d) = (x1-x2)(x1+x2-2*x) + (y1-y2)(y1+y2-2*y) (4)
- (r1'-r3')(r1'+r3'+2*d) = (x1-x3)(x1+x3-2*x) + (y1-y3)(y1+y3-2*y) (5)
А это уже линейная по x, y и d система. Объявив d известным, решаем ее и находим линейные же выражения x=x(d), y=y(d):
A1*x+B1*y=C1, где A1=2*(x1-x2), B1=2*(y1-y2), C1=(x1+x2)*(x1-x2)+(y1+y2)*(y1-y2)-(r1'-r2')*(r1'+r2'+2*d) = D1 + k1*d
A2*x+B2*y=C2, где A2=2*(x1-x3), B2=2*(y1-y3), C2=(x1+x3)*(x1-x3)+(y1+y3)*(y1-y3)-(r1'-r3')*(r1'+r3'+2*d) = D2 + k2*d
D=A1*B2-A2*B1=4*(x1-x2)*(y1-y3)-4*(x1-x3)*(y1-y2) - не ноль, т.к. маяки не на 1 прямой.
x(d)=(C1*B2-C2*B1)/(A1*B2-A2*B1) = ((D1+k1*d)*B2-(D2+k2*d)*B1)/(A1*B2-A2*B1) = P1+m1*d
y(d)=(A1*C2-A2*C1)/(A1*B2-A2*B1) = (A1*(D2+k2*d)-A2*(D1+k1*d))/(A1*B2-A2*B1) = P2+m2*d
Подставляем например в (1), получаем квадратное уравнение с одним неизвестным d:
(r1'+d)^2 = (x1-x)^2 + (y1-y)^2 = (x1-P1-m1*d)^2 + (y1-P2-m2*d)^2
d^2 + 2*r1'*d + r1'^2 = m1^2*d^2 - 2*(x1-P1)*m1*d + (x1-P1)^2 + m2^2*d^2 - 2*(y1-P2)*m2*d + (y1-P2)^2
(1 - m1^2 - m2^2)*d^2 + (2*r1'+2*(x1-P1)*m1+2*(y1-P2)*m2)*d + (r1'^2 - (x1-P1)^2 - (y1-P2)^2) = 0
a = 1 - m1^2 - m2^2
b = 2*r1'+2*(x1-P1)*m1+2*(y1-P2)*m2
c = r1'^2 - (x1-P1)^2 - (y1-P2)^2
корни d1,d2 = (-b +/- sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)
Квадратное уравнение имеет 2 корня. То есть, кроме реального решения, есть еще какое-то второе, тоже удовлетворяющее системе. Скорее всего это решение соответствующее отрицательным r1,r2,r3.
ВНИМАНИЕ! Размещены выкладки не проверявшиеся на практике.