Прикладная геометрия

В этом разделе будут рассмотрены решения основных геометрических задач встречающихся при программировании роботов.

Переход от одной системы координат к другой

Координаты препятствия (X0,Y0) в глобальной (Xг,Yг) системе координат и его же координаты (X1,Y1) в локальной (Xл,Yл) системе координат.

Одна из наиболее распространенных геометрических задач, которые предстоит решать робототехнику - переход между системами координат. Чаще всего это нужно будет делать на плоскости, особенно при решении задач глобальной навигации. Типичная задача в робототехнике будет выглядеть так:

Робот находится в координатах (XR,YR) в глобальной системе координат (на карте) и повернут на угол AR по часовой стрелке от направления оси O-X, робот обнаружил препятствие относительно себя в координатах (X1,Y1) локальной системы координат робота. Требуется определить глобальные координаты (X0,Y0) препятствия. Либо наоборот - зная глобальные координаты препятствия требуется вычислить его локальные координаты.

Тройка чисел (XR,YR,AR) - координаты базиса локальной системы координат в глобальной системе координат.

Формулы перевода из локальных координат в глобальные
X0=XR+X1*cos(AR)-Y1*sin(AR) Y0=YR+Y1*cos(AR)+X1*sin(AR)
Формулы обратного перевода координат
X1=(X0-XR)*cos(AR)+(Y0-YR)*sin(AR) Y1=(Y0-YR)*cos(AR)-(X0-XR)*sin(AR)

Проверим: (переведем координаты туда и обратно)

X1=(X0-XR)*cos(AR)+(Y0-YR)*sin(AR)=
=(XR+X1*cos(AR)-Y1*sin(AR)-XR)*cos(AR)+(YR+Y1*cos(AR)+X1*sin(AR)-YR)*sin(AR)=
=(X1*cos(AR)-Y1*sin(AR))*cos(AR)+(Y1*cos(AR)+X1*sin(AR))*sin(AR)=
=X1*cos(AR)*cos(AR)-Y1*sin(AR)*cos(AR)+Y1*cos(AR)*sin(AR)+X1*sin(AR)*sin(AR)=
=X1*cos(AR)*cos(AR)+X1*sin(AR)*sin(AR)=X1*(cos(AR)*cos(AR)+sin(AR)*sin(AR))=X1*(1)=X1,

и вторую координату:

Y1=(Y0-YR)*cos(AR)-(X0-XR)*sin(AR)=
=(YR+Y1*cos(AR)+X1*sin(AR)-YR)*cos(AR)-(XR+X1*cos(AR)-Y1*sin(AR)-XR)*sin(AR)=
=(Y1*cos(AR)+X1*sin(AR))*cos(AR)-(X1*cos(AR)-Y1*sin(AR))*sin(AR)=
=Y1*cos(AR)*cos(AR)+X1*sin(AR)*cos(AR)-X1*cos(AR)*sin(AR)+Y1*sin(AR)*sin(AR)=
=Y1*cos(AR)*cos(AR)+Y1*sin(AR)*sin(AR)=Y1*(cos(AR)*cos(AR)+sin(AR)*sin(AR))=Y1*(1)=Y1.

Пересчение двух отрезков

Пересчение отрезков (x1a,y1a)-(x1b,y1b) и (x2a,y2a)-(x2b,y2b).

Часто в робототехнике требуется определить пересекаются ли два отрезка, и если пересекаются, то в какой точке (или по какому отрезку). Например, это нужно для поиска путей на карте (проверяем пересечение пути робота с препятствиями заданными многоугольниками) или для вычисления расстояния до препятсвий (когда ищем точку пересечения луча ИК-дальномера с препятствием нанесенным на карте и сравниваем с расстоянием которое нам показывает дальномер).

Постановка задачи: Даны два отрезка (x1a,y1a)-(x1b,y1b) и (x2a,y2a)-(x2b,y2b). Требуется определить, пересекаются ли эти два отрезка, если пересекаются, то в какой точке или по какому отрезку.

Решение: Во-первых определим параллельны ли эти отрезки (если один из отрезков - точка, тогда отрезки считаются параллельными). Для этого проверим выполнение равенства (x1b-x1a)/(y1b-y1a)=(x2b-x2a)/(y2b-y2a), а чтобы не связываться с делением на ноль умножим обе части на (y1b-y1a)*(y2b-y2a), получив (x1b-x1a)*(y2b-y2a)=(x2b-x2a)*(y1b-y1a). Если это равенство выполняется, тогда отрезки параллельны (точного обоснования для случая y1a=y1b или y2a=y2b мы не приводим, вы сами сможете легко убедиться в правильности условия, проверив эти варианты).

Далее решение распадается на 2 варианта:

1. Если отрезки параллельны, тогда ... (здесь надо дописать)

2. Если отрезки не параллельны, тогда ... (здесь надо дописать)