Определение координат робота по расстояниям до маяков, измеренным с одинаковым отклонением

Материал из roboforum.ru Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Постановка задачи

Имеем в плоскости 3 маяка с известными координатами <math>(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)</math> и замеренные расстояния до них <math>(z1,z2,z3)</math> известные с точностью до неизвестного одинакового отклонения <math>(z)</math>. Требуется определить наиболее вероятные координаты робота <math>(x,y)</math> и соответственно одинаковое отклонение <math>(z)</math>, зависящее от смещения часов робота относительно часов маяков.


Источник задачи - система локализации на базе (ультра)звуковых маяков, которые могут быть рассинхронизированы по часам с автономным роботом.

Решение численным методом Ньютона

Решенее предложил mandigit

Запишем уравнение для расстояния <math>~ri</math> от i-го маяка до робота:

<math>zi=\sqrt{(xi-x)^2+(yi-y)^2}+z</math>

Продифференцировав это равенство получим:

<math>dzi = \frac{(xi-x)dx+(yi-y)dy}{\sqrt{(xi-x)^2+(yi-y)^2}}+dz = \frac{(xi-x)dx+(yi-y)dy}{(zi-z)}+dz</math>, умножив на <math>~(zi-z)</math>, получим:

<math>~(zi-z)dzi = (xi-x)dx + (yi-y)dy + (zi-z)dz</math>

При известных <math>~dzi</math> три таких равенства представляют собой систему линейных уравнений относительно неизвестных <math>~dx,dy,dz</math>.

Примем <math>d0=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}</math>, далее имея все эти выкладки запускаем следующий итерационный алгоритм.

  1. Инициализация <math>x(0)=\frac{x1+x2+x3}{3}</math>, <math>y(0)=\frac{y1+y2+y3}{3}</math>, <math>~z(0)=0</math>;
  2. Шаг алгоритма №n (n>=1):
    1. Вычисляем <math>~zi'</math> исходя из координат <math>~x(n-1), y(n-1), z(n-1)</math>;
    2. Находим их отклонение <math>~dzi=zi'-zi</math> от реально измеренных <math>~zi</math>;
    3. Решаем систему линейных уравнений и находим <math>~dx,dy,dz</math>, добавляем их к <math>~x(n-1),y(n-1),z(n-1)</math> и получаем <math>~x(n),y(n),z(n)</math>;
    4. Если <math>~d0</math> меньше некоторого <math>~epsilon</math>, тогда останавливаемся и считаем найденные <math>~x(n),y(n),z(n)</math> достаточно хорошим решением, которое невозможно уже значительно улучшить без серьезных времязатрат.

ВНИМАНИЕ! В решении есть проблема - непонятно почему для сходимости dz надо не добавлять, а отнимать от z(n-1).

ВНИМАНИЕ! Область сходимости данного метода до конца не исследована. Внутри треугольника маяков и в некоторой его окресности на практике метод сходится за 5-6 итераций с точность порядка 3-4% от диаметра треугольника маяков.

Решение аналитическим методом

Решение предложил boez.

Пусть <math>~r1, r2, r3</math> - расстояния до маяков, реальные.

Известные величины: <math>~r1', r2', r3'</math> - расстояния с неким смещением, одинаковым.


расстояния:

  • <math>~r1 = r1'+d</math>
  • <math>~r2 = r2'+d</math>
  • <math>~r3 = r3'+d</math>


Координаты маяков: <math>~(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)</math>

Искомые величины: <math>~x,y,d</math> - координаты и приведенное к расстоянию смещение во времени.


Уравнения окружностей (расстояния до маяков):

  • <math>~r1^2 = (x1-x)^2 + (y1-y)^2</math> (1)
  • <math>~r2^2 = (x2-x)^2 + (y2-y)^2</math> (2)
  • <math>~r3^2 = (x3-x)^2 + (y3-y)^2</math> (3)


Вычтем из первого уравнения второге и третье

  • <math>~(r1'-r2')(r1'+r2'+2 \cdot d) = (x1-x2)(x1+x2-2 \cdot x) + (y1-y2)(y1+y2-2 \cdot y)</math> (4)
  • <math>~(r1'-r3')(r1'+r3'+2 \cdot d) = (x1-x3)(x1+x3-2 \cdot x) + (y1-y3)(y1+y3-2 \cdot y)</math> (5)


А это уже линейная по x, y и d система. Объявив d известным, решаем ее и находим линейные же выражения <math>~x=x(d), y=y(d)</math>:

<math>~A1 \cdot x+B1 \cdot y=C1</math>, где <math>~A1=2 \cdot (x1-x2)</math>, <math>~B1=2 \cdot (y1-y2)</math>, <math>~C1=(x1+x2) \cdot (x1-x2)+(y1+y2) \cdot (y1-y2)-(r1'-r2') \cdot (r1'+r2'+2 \cdot d) = D1 + k1 \cdot d</math>

<math>~A2 \cdot x+B2 \cdot y=C2</math>, где <math>~A2=2 \cdot (x1-x3)</math>, <math>~B2=2 \cdot (y1-y3)</math>, <math>~C2=(x1+x3) \cdot (x1-x3)+(y1+y3) \cdot (y1-y3)-(r1'-r3') \cdot (r1'+r3'+2 \cdot d) = D2 + k2 \cdot d</math>


<math>~D=A1 \cdot B2-A2 \cdot B1=4 \cdot (x1-x2) \cdot (y1-y3)-4 \cdot (x1-x3) \cdot (y1-y2)</math> - не ноль, т.к. маяки не на 1 прямой.


<math>~x(d)=\frac{C1 \cdot B2-C2 \cdot B1}{A1 \cdot B2-A2 \cdot B1} = \frac{(D1+k1 \cdot d) \cdot B2-(D2+k2 \cdot d) \cdot B1}{A1 \cdot B2-A2 \cdot B1} = P1+m1 \cdot d</math>

<math>~y(d)=\frac{A1 \cdot C2-A2 \cdot C1}{A1 \cdot B2-A2 \cdot B1} = \frac{A1 \cdot (D2+k2 \cdot d)-A2 \cdot (D1+k1 \cdot d)}{A1 \cdot B2-A2 \cdot B1} = P2+m2 \cdot d</math>


Подставляем например в (1), получаем квадратное уравнение с одним неизвестным d:

<math>~(r1'+d)^2 = (x1-x)^2 + (y1-y)^2 = (x1-P1-m1 \cdot d)^2 + (y1-P2-m2 \cdot d)^2</math>

<math>~d^2 + 2 \cdot r1' \cdot d + r1'^2 = m1^2 \cdot d^2 - 2 \cdot (x1-P1) \cdot m1 \cdot d + (x1-P1)^2 + m2^2 \cdot d^2 - 2 \cdot (y1-P2) \cdot m2 \cdot d + (y1-P2)^2</math>

<math>~(1 - m1^2 - m2^2) \cdot d^2 + (2 \cdot r1'+2 \cdot (x1-P1) \cdot m1+2 \cdot (y1-P2) \cdot m2) \cdot d + (r1'^2 - (x1-P1)^2 - (y1-P2)^2) = 0</math>


<math>~a = 1 - m1^2 - m2^2</math>

<math>~b = 2 \cdot r1'+2 \cdot (x1-P1) \cdot m1+2 \cdot (y1-P2) \cdot m2</math>

<math>~c = r1'^2 - (x1-P1)^2 - (y1-P2)^2</math>


корни <math>~d1,d2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}</math>


Квадратное уравнение имеет 2 корня. То есть, кроме реального решения, есть еще какое-то второе, тоже удовлетворяющее системе. Скорее всего это решение соответствующее отрицательным r1,r2,r3.

Данный метод был проверен на практике и дает неудовлетворительный результат, так как измерения в реальности не могут быть проведены с одинаковым отклонением. Метод расходится на практике, хотя при искусственном одинаковым отклонении действительно получается адекватный результат. Маяковая система навигации, определяющая положение роботов по 3м маякам с известными координатами. Полностью автономная, с промышленным протоколом.Описание системы вы можете найти здесь http://robot-develop.org/archives/484 Эта система применялась для навигации мобильного автономного робота проекта Евробот 2011. Здесь был использован искусственный аналитический метод, когда для каждой пары окружностей - множества точек одинакового удаления решалась задача пересечения, в случае отсутствия решения выбиралась точка, равноудаленная от обеих окружностей. Далее находились такие пары точек, чья дисперсия была наименьшей, их координаты усреднялись и на выходе получался довольно адекватный результат определения положения робота в пространстве.