Определение координат робота по расстояниям до маяков, измеренным с одинаковым отклонением — различия между версиями

Материал из roboforum.ru Wiki
Перейти к: навигация, поиск
(Решение аналитическим методом)
 
(не показаны 3 промежуточные версии 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
== Постановка задачи ==
 
== Постановка задачи ==
Имеем в плоскости 3 маяка с известными координатами (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) и замеренные расстояния до них (z1,z2,z3) известные с точностью до неизвестного одинакового отклонения (z).
+
Имеем в плоскости 3 маяка с известными координатами <math>(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)</math> и замеренные расстояния до них <math>(z1,z2,z3)</math> известные с точностью до неизвестного одинакового отклонения <math>(z)</math>.
Требуется определить наиболее вероятные координаты робота (x,y) и соответственно одинаковое отклонение (z), зависящее от смещения часов робота относительно часов маяков.
+
Требуется определить наиболее вероятные координаты робота <math>(x,y)</math> и соответственно одинаковое отклонение <math>(z)</math>, зависящее от смещения часов робота относительно часов маяков.
  
  
Строка 9: Строка 9:
 
Решенее предложил mandigit
 
Решенее предложил mandigit
  
Запишем уравнение для расстояния ri от i-го маяка до робота:
+
Запишем уравнение для расстояния <math>~ri</math> от i-го маяка до робота:
  
zi=sqrt((xi-x)^2+(yi-y)^2)+z
+
<math>zi=\sqrt{(xi-x)^2+(yi-y)^2}+z</math>
  
 
Продифференцировав это равенство получим:
 
Продифференцировав это равенство получим:
  
dzi = ((xi-x)dx+(yi-y)dy)/sqrt((xi-x)^2+(yi-y)^2)+dz = ((xi-x)dx+(yi-y)dy)/(zi-z)+dz, умножив на (zi-z), получим:
+
<math>dzi = \frac{(xi-x)dx+(yi-y)dy}{\sqrt{(xi-x)^2+(yi-y)^2}}+dz = \frac{(xi-x)dx+(yi-y)dy}{(zi-z)}+dz</math>, умножив на <math>~(zi-z)</math>, получим:
  
(zi-z)dzi = (xi-x)dx + (yi-y)dy + (zi-z)dz
+
<math>~(zi-z)dzi = (xi-x)dx + (yi-y)dy + (zi-z)dz</math>
  
При известных dzi три таких равенства представляют собой систему линейных уравнений относительно неизвестных dx,dy,dz.
+
При известных <math>~dzi</math> три таких равенства представляют собой систему линейных уравнений относительно неизвестных <math>~dx,dy,dz</math>.
  
Примем d0=sqrt(dx^2+dy^2+dz^2), далее имея все эти выкладки запускаем следующий итерационный алгоритм.
+
Примем <math>d0=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}</math>, далее имея все эти выкладки запускаем следующий итерационный алгоритм.
  
# Инициализация x(0)=(x1+x2+x3)/3, y(0)=(y1+y2+y3)/3, z(0)=0;
+
# Инициализация <math>x(0)=\frac{x1+x2+x3}{3}</math>, <math>y(0)=\frac{y1+y2+y3}{3}</math>, <math>~z(0)=0</math>;
 
# Шаг алгоритма №n (n>=1):
 
# Шаг алгоритма №n (n>=1):
## Вычисляем zi' исходя из координат x(n-1), y(n-1), z(n-1);
+
## Вычисляем <math>~zi'</math> исходя из координат <math>~x(n-1), y(n-1), z(n-1)</math>;
## Находим их отклонение dzi=zi'-zi от реально измеренных zi;
+
## Находим их отклонение <math>~dzi=zi'-zi</math> от реально измеренных <math>~zi</math>;
## Решаем систему линейных уравнений и находим dx,dy,dz, добавляем их к x(n-1),y(n-1),z(n-1) и получаем x(n),y(n),z(n);
+
## Решаем систему линейных уравнений и находим <math>~dx,dy,dz</math>, добавляем их к <math>~x(n-1),y(n-1),z(n-1)</math> и получаем <math>~x(n),y(n),z(n)</math>;
## Если d0 меньше некоторого epsilon, тогда останавливаемся и считаем найденные x(n),y(n),z(n) достаточно хорошим решением, которое невозможно уже значительно улучшить без серьезных времязатрат.
+
## Если <math>~d0</math> меньше некоторого <math>~epsilon</math>, тогда останавливаемся и считаем найденные <math>~x(n),y(n),z(n)</math> достаточно хорошим решением, которое невозможно уже значительно улучшить без серьезных времязатрат.
  
 
'''ВНИМАНИЕ!''' В решении есть проблема - непонятно почему для сходимости dz надо не добавлять, а отнимать от z(n-1).
 
'''ВНИМАНИЕ!''' В решении есть проблема - непонятно почему для сходимости dz надо не добавлять, а отнимать от z(n-1).
Строка 37: Строка 37:
 
Решение предложил boez.
 
Решение предложил boez.
  
Пусть r1, r2, r3 - расстояния до маяков, реальные.
+
Пусть <math>~r1, r2, r3</math> - расстояния до маяков, реальные.
  
Известные величины: r1', r2', r3' - расстояния с неким смещением, одинаковым.
+
Известные величины: <math>~r1', r2', r3'</math> - расстояния с неким смещением, одинаковым.
  
  
 
расстояния:
 
расстояния:
* r1 = r1'+d
+
* <math>~r1 = r1'+d</math>
* r2 = r2'+d
+
* <math>~r2 = r2'+d</math>
* r3 = r3'+d
+
* <math>~r3 = r3'+d</math>
  
  
Координаты маяков: (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
+
Координаты маяков: <math>~(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)</math>
  
Искомые величины: x,y,d - координаты и приведенное к расстоянию смещение во времени.
+
Искомые величины: <math>~x,y,d</math> - координаты и приведенное к расстоянию смещение во времени.
  
  
 
Уравнения окружностей (расстояния до маяков):
 
Уравнения окружностей (расстояния до маяков):
* r1^2 = (x1-x)^2 + (y1-y)^2      (1)
+
* <math>~r1^2 = (x1-x)^2 + (y1-y)^2</math>       (1)
* r2^2 = (x2-x)^2 + (y2-y)^2      (2)
+
* <math>~r2^2 = (x2-x)^2 + (y2-y)^2</math>       (2)
* r3^2 = (x3-x)^2 + (y3-y)^2      (3)
+
* <math>~r3^2 = (x3-x)^2 + (y3-y)^2</math>       (3)
  
  
 
Вычтем из первого уравнения второге и третье
 
Вычтем из первого уравнения второге и третье
* (r1'-r2')(r1'+r2'+2*d) = (x1-x2)(x1+x2-2*x) + (y1-y2)(y1+y2-2*y)      (4)
+
* <math>~(r1'-r2')(r1'+r2'+2 \cdot d) = (x1-x2)(x1+x2-2 \cdot x) + (y1-y2)(y1+y2-2 \cdot y)</math>       (4)
* (r1'-r3')(r1'+r3'+2*d) = (x1-x3)(x1+x3-2*x) + (y1-y3)(y1+y3-2*y)      (5)
+
* <math>~(r1'-r3')(r1'+r3'+2 \cdot d) = (x1-x3)(x1+x3-2 \cdot x) + (y1-y3)(y1+y3-2 \cdot y)</math>       (5)
  
  
А это уже линейная по x, y и d система. Объявив d известным, решаем ее и находим линейные же выражения x=x(d), y=y(d):
+
А это уже линейная по x, y и d система. Объявив d известным, решаем ее и находим линейные же выражения <math>~x=x(d), y=y(d)</math>:
  
A1*x+B1*y=C1, где A1=2*(x1-x2), B1=2*(y1-y2), C1=(x1+x2)*(x1-x2)+(y1+y2)*(y1-y2)-(r1'-r2')*(r1'+r2'+2*d) = D1 + k1*d
+
<math>~A1 \cdot x+B1 \cdot y=C1</math>, где <math>~A1=2 \cdot (x1-x2)</math>, <math>~B1=2 \cdot (y1-y2)</math>, <math>~C1=(x1+x2) \cdot (x1-x2)+(y1+y2) \cdot (y1-y2)-(r1'-r2') \cdot (r1'+r2'+2 \cdot d) = D1 + k1 \cdot d</math>
  
A2*x+B2*y=C2, где A2=2*(x1-x3), B2=2*(y1-y3), C2=(x1+x3)*(x1-x3)+(y1+y3)*(y1-y3)-(r1'-r3')*(r1'+r3'+2*d) = D2 + k2*d
+
<math>~A2 \cdot x+B2 \cdot y=C2</math>, где <math>~A2=2 \cdot (x1-x3)</math>, <math>~B2=2 \cdot (y1-y3)</math>, <math>~C2=(x1+x3) \cdot (x1-x3)+(y1+y3) \cdot (y1-y3)-(r1'-r3') \cdot (r1'+r3'+2 \cdot d) = D2 + k2 \cdot d</math>
  
  
D=A1*B2-A2*B1=4*(x1-x2)*(y1-y3)-4*(x1-x3)*(y1-y2) - не ноль, т.к. маяки не на 1 прямой.
+
<math>~D=A1 \cdot B2-A2 \cdot B1=4 \cdot (x1-x2) \cdot (y1-y3)-4 \cdot (x1-x3) \cdot (y1-y2)</math> - не ноль, т.к. маяки не на 1 прямой.
  
  
x(d)=(C1*B2-C2*B1)/(A1*B2-A2*B1) = ((D1+k1*d)*B2-(D2+k2*d)*B1)/(A1*B2-A2*B1) = P1+m1*d
+
<math>~x(d)=\frac{C1 \cdot B2-C2 \cdot B1}{A1 \cdot B2-A2 \cdot B1} = \frac{(D1+k1 \cdot d) \cdot B2-(D2+k2 \cdot d) \cdot B1}{A1 \cdot B2-A2 \cdot B1} = P1+m1 \cdot d</math>
  
y(d)=(A1*C2-A2*C1)/(A1*B2-A2*B1) = (A1*(D2+k2*d)-A2*(D1+k1*d))/(A1*B2-A2*B1) = P2+m2*d
+
<math>~y(d)=\frac{A1 \cdot C2-A2 \cdot C1}{A1 \cdot B2-A2 \cdot B1} = \frac{A1 \cdot (D2+k2 \cdot d)-A2 \cdot (D1+k1 \cdot d)}{A1 \cdot B2-A2 \cdot B1} = P2+m2 \cdot d</math>
  
  
 
Подставляем например в (1), получаем квадратное уравнение с одним неизвестным d:
 
Подставляем например в (1), получаем квадратное уравнение с одним неизвестным d:
  
(r1'+d)^2 = (x1-x)^2 + (y1-y)^2 = (x1-P1-m1*d)^2 + (y1-P2-m2*d)^2
+
<math>~(r1'+d)^2 = (x1-x)^2 + (y1-y)^2 = (x1-P1-m1 \cdot d)^2 + (y1-P2-m2 \cdot d)^2</math>
  
d^2 + 2*r1'*d + r1'^2 = m1^2*d^2 - 2*(x1-P1)*m1*d + (x1-P1)^2 + m2^2*d^2 - 2*(y1-P2)*m2*d + (y1-P2)^2
+
<math>~d^2 + 2 \cdot r1' \cdot d + r1'^2 = m1^2 \cdot d^2 - 2 \cdot (x1-P1) \cdot m1 \cdot d + (x1-P1)^2 + m2^2 \cdot d^2 - 2 \cdot (y1-P2) \cdot m2 \cdot d + (y1-P2)^2</math>
  
(1 - m1^2 - m2^2)*d^2 + (2*r1'+2*(x1-P1)*m1+2*(y1-P2)*m2)*d + (r1'^2 - (x1-P1)^2 - (y1-P2)^2) = 0
+
<math>~(1 - m1^2 - m2^2) \cdot d^2 + (2 \cdot r1'+2 \cdot (x1-P1) \cdot m1+2 \cdot (y1-P2) \cdot m2) \cdot d + (r1'^2 - (x1-P1)^2 - (y1-P2)^2) = 0</math>
  
  
a = 1 - m1^2 - m2^2
+
<math>~a = 1 - m1^2 - m2^2</math>
  
b = 2*r1'+2*(x1-P1)*m1+2*(y1-P2)*m2
+
<math>~b = 2 \cdot r1'+2 \cdot (x1-P1) \cdot m1+2 \cdot (y1-P2) \cdot m2</math>
  
c = r1'^2 - (x1-P1)^2 - (y1-P2)^2
+
<math>~c = r1'^2 - (x1-P1)^2 - (y1-P2)^2</math>
  
  
корни d1,d2 = (-b +/- sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)
+
корни <math>~d1,d2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}</math>
  
  
 
Квадратное уравнение имеет 2 корня. То есть, кроме реального решения, есть еще какое-то второе, тоже удовлетворяющее системе. Скорее всего это решение соответствующее отрицательным r1,r2,r3.
 
Квадратное уравнение имеет 2 корня. То есть, кроме реального решения, есть еще какое-то второе, тоже удовлетворяющее системе. Скорее всего это решение соответствующее отрицательным r1,r2,r3.
  
 
+
Данный метод был проверен на практике и дает неудовлетворительный результат, так как измерения в реальности не могут быть проведены с одинаковым отклонением. Метод расходится на практике, хотя при искусственном одинаковым отклонении действительно получается адекватный результат. Маяковая система навигации, определяющая положение роботов по 3м маякам с известными координатами. Полностью автономная, с промышленным протоколом.Описание системы вы можете найти здесь http://robot-develop.org/archives/484 Эта система применялась для навигации мобильного автономного робота проекта Евробот 2011. Здесь был использован искусственный аналитический метод, когда для каждой пары окружностей - множества точек одинакового удаления решалась задача пересечения, в случае отсутствия решения выбиралась точка, равноудаленная от обеих окружностей. Далее находились такие пары точек, чья дисперсия была наименьшей, их координаты усреднялись и на выходе получался довольно адекватный результат определения положения робота в пространстве.
'''ВНИМАНИЕ!''' Размещены выкладки не проверявшиеся на практике.
 

Текущая версия на 21:55, 1 марта 2011

Постановка задачи

Имеем в плоскости 3 маяка с известными координатами <math>(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)</math> и замеренные расстояния до них <math>(z1,z2,z3)</math> известные с точностью до неизвестного одинакового отклонения <math>(z)</math>. Требуется определить наиболее вероятные координаты робота <math>(x,y)</math> и соответственно одинаковое отклонение <math>(z)</math>, зависящее от смещения часов робота относительно часов маяков.


Источник задачи - система локализации на базе (ультра)звуковых маяков, которые могут быть рассинхронизированы по часам с автономным роботом.

Решение численным методом Ньютона

Решенее предложил mandigit

Запишем уравнение для расстояния <math>~ri</math> от i-го маяка до робота:

<math>zi=\sqrt{(xi-x)^2+(yi-y)^2}+z</math>

Продифференцировав это равенство получим:

<math>dzi = \frac{(xi-x)dx+(yi-y)dy}{\sqrt{(xi-x)^2+(yi-y)^2}}+dz = \frac{(xi-x)dx+(yi-y)dy}{(zi-z)}+dz</math>, умножив на <math>~(zi-z)</math>, получим:

<math>~(zi-z)dzi = (xi-x)dx + (yi-y)dy + (zi-z)dz</math>

При известных <math>~dzi</math> три таких равенства представляют собой систему линейных уравнений относительно неизвестных <math>~dx,dy,dz</math>.

Примем <math>d0=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}</math>, далее имея все эти выкладки запускаем следующий итерационный алгоритм.

  1. Инициализация <math>x(0)=\frac{x1+x2+x3}{3}</math>, <math>y(0)=\frac{y1+y2+y3}{3}</math>, <math>~z(0)=0</math>;
  2. Шаг алгоритма №n (n>=1):
    1. Вычисляем <math>~zi'</math> исходя из координат <math>~x(n-1), y(n-1), z(n-1)</math>;
    2. Находим их отклонение <math>~dzi=zi'-zi</math> от реально измеренных <math>~zi</math>;
    3. Решаем систему линейных уравнений и находим <math>~dx,dy,dz</math>, добавляем их к <math>~x(n-1),y(n-1),z(n-1)</math> и получаем <math>~x(n),y(n),z(n)</math>;
    4. Если <math>~d0</math> меньше некоторого <math>~epsilon</math>, тогда останавливаемся и считаем найденные <math>~x(n),y(n),z(n)</math> достаточно хорошим решением, которое невозможно уже значительно улучшить без серьезных времязатрат.

ВНИМАНИЕ! В решении есть проблема - непонятно почему для сходимости dz надо не добавлять, а отнимать от z(n-1).

ВНИМАНИЕ! Область сходимости данного метода до конца не исследована. Внутри треугольника маяков и в некоторой его окресности на практике метод сходится за 5-6 итераций с точность порядка 3-4% от диаметра треугольника маяков.

Решение аналитическим методом

Решение предложил boez.

Пусть <math>~r1, r2, r3</math> - расстояния до маяков, реальные.

Известные величины: <math>~r1', r2', r3'</math> - расстояния с неким смещением, одинаковым.


расстояния:

  • <math>~r1 = r1'+d</math>
  • <math>~r2 = r2'+d</math>
  • <math>~r3 = r3'+d</math>


Координаты маяков: <math>~(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)</math>

Искомые величины: <math>~x,y,d</math> - координаты и приведенное к расстоянию смещение во времени.


Уравнения окружностей (расстояния до маяков):

  • <math>~r1^2 = (x1-x)^2 + (y1-y)^2</math> (1)
  • <math>~r2^2 = (x2-x)^2 + (y2-y)^2</math> (2)
  • <math>~r3^2 = (x3-x)^2 + (y3-y)^2</math> (3)


Вычтем из первого уравнения второге и третье

  • <math>~(r1'-r2')(r1'+r2'+2 \cdot d) = (x1-x2)(x1+x2-2 \cdot x) + (y1-y2)(y1+y2-2 \cdot y)</math> (4)
  • <math>~(r1'-r3')(r1'+r3'+2 \cdot d) = (x1-x3)(x1+x3-2 \cdot x) + (y1-y3)(y1+y3-2 \cdot y)</math> (5)


А это уже линейная по x, y и d система. Объявив d известным, решаем ее и находим линейные же выражения <math>~x=x(d), y=y(d)</math>:

<math>~A1 \cdot x+B1 \cdot y=C1</math>, где <math>~A1=2 \cdot (x1-x2)</math>, <math>~B1=2 \cdot (y1-y2)</math>, <math>~C1=(x1+x2) \cdot (x1-x2)+(y1+y2) \cdot (y1-y2)-(r1'-r2') \cdot (r1'+r2'+2 \cdot d) = D1 + k1 \cdot d</math>

<math>~A2 \cdot x+B2 \cdot y=C2</math>, где <math>~A2=2 \cdot (x1-x3)</math>, <math>~B2=2 \cdot (y1-y3)</math>, <math>~C2=(x1+x3) \cdot (x1-x3)+(y1+y3) \cdot (y1-y3)-(r1'-r3') \cdot (r1'+r3'+2 \cdot d) = D2 + k2 \cdot d</math>


<math>~D=A1 \cdot B2-A2 \cdot B1=4 \cdot (x1-x2) \cdot (y1-y3)-4 \cdot (x1-x3) \cdot (y1-y2)</math> - не ноль, т.к. маяки не на 1 прямой.


<math>~x(d)=\frac{C1 \cdot B2-C2 \cdot B1}{A1 \cdot B2-A2 \cdot B1} = \frac{(D1+k1 \cdot d) \cdot B2-(D2+k2 \cdot d) \cdot B1}{A1 \cdot B2-A2 \cdot B1} = P1+m1 \cdot d</math>

<math>~y(d)=\frac{A1 \cdot C2-A2 \cdot C1}{A1 \cdot B2-A2 \cdot B1} = \frac{A1 \cdot (D2+k2 \cdot d)-A2 \cdot (D1+k1 \cdot d)}{A1 \cdot B2-A2 \cdot B1} = P2+m2 \cdot d</math>


Подставляем например в (1), получаем квадратное уравнение с одним неизвестным d:

<math>~(r1'+d)^2 = (x1-x)^2 + (y1-y)^2 = (x1-P1-m1 \cdot d)^2 + (y1-P2-m2 \cdot d)^2</math>

<math>~d^2 + 2 \cdot r1' \cdot d + r1'^2 = m1^2 \cdot d^2 - 2 \cdot (x1-P1) \cdot m1 \cdot d + (x1-P1)^2 + m2^2 \cdot d^2 - 2 \cdot (y1-P2) \cdot m2 \cdot d + (y1-P2)^2</math>

<math>~(1 - m1^2 - m2^2) \cdot d^2 + (2 \cdot r1'+2 \cdot (x1-P1) \cdot m1+2 \cdot (y1-P2) \cdot m2) \cdot d + (r1'^2 - (x1-P1)^2 - (y1-P2)^2) = 0</math>


<math>~a = 1 - m1^2 - m2^2</math>

<math>~b = 2 \cdot r1'+2 \cdot (x1-P1) \cdot m1+2 \cdot (y1-P2) \cdot m2</math>

<math>~c = r1'^2 - (x1-P1)^2 - (y1-P2)^2</math>


корни <math>~d1,d2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}</math>


Квадратное уравнение имеет 2 корня. То есть, кроме реального решения, есть еще какое-то второе, тоже удовлетворяющее системе. Скорее всего это решение соответствующее отрицательным r1,r2,r3.

Данный метод был проверен на практике и дает неудовлетворительный результат, так как измерения в реальности не могут быть проведены с одинаковым отклонением. Метод расходится на практике, хотя при искусственном одинаковым отклонении действительно получается адекватный результат. Маяковая система навигации, определяющая положение роботов по 3м маякам с известными координатами. Полностью автономная, с промышленным протоколом.Описание системы вы можете найти здесь http://robot-develop.org/archives/484 Эта система применялась для навигации мобильного автономного робота проекта Евробот 2011. Здесь был использован искусственный аналитический метод, когда для каждой пары окружностей - множества точек одинакового удаления решалась задача пересечения, в случае отсутствия решения выбиралась точка, равноудаленная от обеих окружностей. Далее находились такие пары точек, чья дисперсия была наименьшей, их координаты усреднялись и на выходе получался довольно адекватный результат определения положения робота в пространстве.